勾股定理

一、历史：

这个定理的历史可以被分成三个部分：发现勾股数、发现直角三角形中边长的关系、及其定理的证明。

1. 勾股数：

勾股数的发现时间较早，例如埃及的纸草书里面就有(3,4,5)这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(13500,12709,18541)。后来的中国的算经、印度与阿拉伯的数学书也有记载。在中国，《周髀算经》中也记述了(3,4,5)这一组勾股数；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系统的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。

2. 普遍定理的发现：

在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉，但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中：

“求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”

《周髀算经》卷上之二

因此，此定理也被称之为陈子定理。
东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：

“勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦。”

在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。
直至现时为止，仍有许多关于勾股定理是否不止一次被发现的辩论。

3. 证明：

毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来的书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。
在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。
巴勒蒂·克尔什纳·蒂尔特吉在吠陀数学一书中声称古代印度教吠陀证明了勾股定理。

二、证明：

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明。

1. 赵爽勾股圆方图证明法：

中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。

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2. 刘徽“割补术”证明法：

中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。

3. 利用相似三角形的证法

有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设△ABC为一直角三角形，直角于∠C（看下图）。

从点C画上三角形的高，并将此高与(AB) ̅的交叉点称之为H。此新△ACH和原本的△ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，△CBH和△ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
∵ (BC) ̅=a,(AC) ̅=b,(AB) ̅=c
∴ a/c=(HB) ̅/a,b/c=(AH) ̅/b
可以写成
a^2=c×(HB) ̅,b^2=c×(AH) ̅
综合这两个方程式，我们得到
a^2+b^2=c×(HB) ̅+c×(AH) ̅=c×((HB) ̅+(AH) ̅ )=c^2
换句话说:
a^2+b^2=c^2

4. 图形重新排列证法

此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为(a+b)^2。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为(a^2+b^2)，右方余下面积为c^2，两者相等。证毕。